复数

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复平面

概念

1. 对于复数 $z=x+iy$，在直角坐标系中，横坐标为实部，纵坐标为虚部。
2. 区分辐角（$Argz$）和辐角主值（$argz$）: $Argz=argz+2k\pi$，辐角主值的范围在 $(-\pi ,\pi ]$
3. 复数的三角形式：$z=r(cos\theta +isin\theta )$
4. 复数的指数形式：$z=r{e}^{i\theta }$

复数几何运算

复数 $z_1{z}_2$ 相乘表现为，对于 $z_1$, 模长乘以 $r_2$ 倍，辐角又旋转了 ${\theta }_2$.

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相乘的共轭复数：

$$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$$

相除的共轭复数：

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

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​​相乘的模长：

$$|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|=r_1{r}_2$$

相除的模长：

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{r_1}{r_2}$$

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相乘的辐角：

$$\text{Arg}(z_1{z}_2)=\text{Arg}(z_1)+\text{Arg}(z_2)+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$$

相除的辐角：

$$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\text{Arg}(z_1)-\text{Arg}(z_2)+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$$

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复变函数

概念

与实变函数不同，复变函数，是把复数 $z=x+iy$ 作为自变量，而复数 $w=u+iv$ 为因变量，其中 w 与 z 之间存在函数关系：

$$w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$$

导数与微分

1. 对于复变函数，可导一定连续，连续不一定可导。
2. 对于复变函数，可导与可微互为充分条件。
3. 实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$ 在点 $z_0(x_0,y_0)$ 处连续 $⟺$ 复变函数 w 在点 $z_0$ 处连续。
4. 如果一个复变函数的实部和虚部处处可导，但是复变函数可能处处不可导。，例如 $f(z)=2x-yi$, 实部和虚部都可导，但实变函数列出导数的定义式，结果不唯一，所以处处不可导。

贡献者

OveDuke

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